2+2^2+2^3+2^4+……+2^2008为什么能被30整除

等比数列求和，共2008项,结果为2^2009-2
被2除后，S=2^2008-1;
再证S能被15整除即可。S=(3+1)^1004-1,根据二项式定理，(3+1)^1004展开后变成a0*3^1004+a1*3^1003+...+a1001*3^2+a1002*3^1+1,而把末尾1减掉后，每项都能被3整除，所以S能被3整除。
同理S=(5-1)^1004-1,因为1004是偶数，所以二项式定理展开后，最后一项还是1，减掉后，每一项都能被5整除，所以S能被5整除。
既能被3又能被整除，所以S能被15整除。
得证。

等比数列求和!

假设s=2+2^2+2^3+2^4+……+2^2008,两边同时乘以2,得到

2s=2^2+2^3+2^4+……+2^2008+2^2009,与前式相减,得到

s=2^2009-2=2*(2^2008-1),

Mod[2^2008-1,3]=Mod[(3-1)^2008-1,3]=Mod[(-1)^2008-1,3]=Mod[0,3]=0,

Mod[(2^2008-1),5]=Mod[4^1004-1,5]=Mod[(5-1)^1004,5]=Mod[(-1)^1004-1,5]=Mod[0,5]=0

即 s中含有因子2,3,5,故s整除30.

原式=2^2009-2
=2*(2^2008-1)
=2*(16^502-1)
=2*(16-1)*(16^501+16^500+……+1)
=30*(16^501+16^500+……+1)

2+2^2+2^3+2^4+……+2^2008=2^2009-2
显然这个数是2的倍数。
2^2009=（3-1）^2009=-1=2 mod 3
所以2^2009-2除以3刚好余0，是3的倍数。
2^2009-2=2*4^1004-2=2*(5-1)^1004-2=2*1-1=0 mod 5
所以2^2009-2除以5刚好余0，是5的倍数。
2,3,5互质，所以2^2009-2能被2*3